Définition
La théorie des ensembles musicaux (pitch-class set theory), développée par Milton Babbitt et systématisée par Allen Forte (The Structure of Atonal Music, 1973), décrit les hauteurs comme des nombres et les accords comme des ensembles. Née pour analyser la musique atonale (Schoenberg, Berg, Webern), elle est aujourd'hui utile aussi pour comprendre symétries, gammes exotiques et voicings dans le jazz et la musique de film.
Pitch et pitch class
- Une pitch est une hauteur précise (C4).
- Une pitch class (pc) est la classe de toutes les notes de même nom, indépendamment de l'octave et de la graphie enharmonique : C2, C4, B#3 et Dbb5 sont toutes la pc 0.
| pc | Notes |
|---|---|
| 0 | C, B#, Dbb |
| 1 | C#, Db |
| 2 | D |
| 3 | D#, Eb |
| 4 | E, Fb |
| 5 | F, E# |
| 6 | F#, Gb |
| 7 | G |
| 8 | G#, Ab |
| 9 | A |
| 10 (t ou A) | A#, Bb |
| 11 (e ou B) | B, Cb |
L'arithmétique est modulo 12 : 11 + 3 = 2 (B + tierce mineure = D). Par commodité, on écrit t (10) et e (11), ou A et B.
Classes d'intervalle
Un intervalle entre pitch classes se mesure en demi-tons (0–11). Comme un intervalle et son renversement (par ex. tierce mineure = 3, sixte majeure = 9) sont « le même » dans une perspective de classes, on utilise les classes d'intervalle (ic) de 0 à 6 : ic = min(n, 12 − n).
| ic | Intervalles |
|---|---|
| 1 | seconde mineure / septième majeure |
| 2 | seconde majeure / septième mineure |
| 3 | tierce mineure / sixte majeure |
| 4 | tierce majeure / sixte mineure |
| 5 | quarte juste / quinte juste |
| 6 | triton |
Opérations
- Transposition Tn : on ajoute n à chaque pc. T5 de {0, 4, 7} (do majeur) = {5, 9, 0} (fa majeur).
- Inversion I (T0I) : chaque pc devient son opposé : x → −x mod 12. I de {0, 4, 7} = {0, 8, 5} = fa mineur (F Ab C). TnI : inversion suivie d'une transposition : T7I de {0, 4, 7} = {7, 3, 0} = do mineur.
Il en découle un résultat important : l'accord mineur est l'inversion de l'accord majeur (même structure d'intervalles retournée). C'est la base mathématique de l'harmonie négative (Ernst Levy, Steve Coleman, popularisée par Jacob Collier), où chaque accord est reflété autour d'un axe situé entre la tierce majeure et la tierce mineure de la tonique.
Symétrie et invariance
Un ensemble est symétrique par transposition si Tn le laisse inchangé : l'accord augmenté {0, 4, 8} reste identique avec T4 et T8 ; la septième diminuée {0, 3, 6, 9} avec T3, T6, T9 ; la gamme par tons avec T2, T4… ; l'octatonique avec T3, T6, T9. Ce sont les modes à transpositions limitées de Messiaen.
Exemples musicaux
- Webern et la Seconde école de Vienne utilisent souvent la cellule {0, 1, 6} (« tricorde viennois ») : demi-ton + triton.
- Schoenberg, Drei Klavierstücke op. 11 : l'ouverture est l'un des bancs d'essai classiques de l'analyse ensembliste.
- Dans le jazz : G7 et Db7 partagent le triton {5, 11} ; la substitution de triton est T6 d'un accord qui en conserve deux notes (invariance).
- Dans la musique de film moderne, les « couleurs » de Hans Zimmer ou de John Williams alternent souvent des accords liés par des transformations néo-riemanniennes (P, L, R), qui sont des inversions avec deux notes communes.
Usage pratique pour un producteur
- Penser en nombres rend immédiat de transposer et d'inverser un voicing dans FL Studio (chaque nombre = un demi-ton dans la Piano roll).
- Les gammes symétriques se construisent avec des règles numériques : gamme par tons = pas de 2, diminuée = 1-2 ou 2-1, augmentée = 3-1.
- L'inversion autour de l'axe de l'harmonie négative en do (x → 7 − x mod 12, c'est-à-dire réflexion entre mib et mi) transforme C – Am – F – G en Cm – Eb – Gm – Fm : une progression « miroir » avec le même mouvement des voix.
Exercice
- Écris en nombres les accords de C, Am, F#°, Eb+ et calcule T3 et I de chacun.
- Prends une mélodie de 8 notes, convertis-la en pc, applique T0I et joue-la : c'est la mélodie « renversée ».
- Vérifie que {0, 3, 6, 9} transposé de 3 reste identique et explique pourquoi la septième diminuée a quatre résolutions.
Liens
Théorie des ensembles (2) : forme normale, forme première et vecteur d'intervalles ; Enharmonie ; Modes à transpositions limitées de Messiaen ; Gamme diminuée ; Gamme par tons.