Pourquoi ils servent
Un accord peut apparaître dans de nombreuses transpositions, renversements et dispositions. La forme normale et la forme première permettent de ramener chaque ensemble à un représentant unique et de comparer accords et gammes de façon objective. Le numéro de Forte (par ex. 3-11) est l'étiquette de catalogue.
Forme normale (algorithme)
- Élimine les répétitions et les octaves, écris les pc en ordre croissant.
- Écris toutes les rotations (cycles) de l'ensemble.
- Choisis la rotation avec le plus petit intervalle entre la première et la dernière note (la plus compacte).
- En cas d'égalité, choisis celle qui a le plus petit intervalle entre la première et l'avant-dernière note, et ainsi de suite (critère de Rahn ; Forte utilise un critère légèrement différent dans les rares cas d'égalité persistante).
Exemple : do majeur en position E–G–C = {4, 7, 0}. Rotations : [0 4 7] amplitude 7 ; [4 7 0] amplitude 8 ; [7 0 4] amplitude 9. Forme normale : [0, 4, 7].
Forme première
- Trouve la forme normale de l'ensemble et transpose-la pour qu'elle commence à 0.
- Fais de même avec l'inversion de l'ensemble.
- Choisis la plus « compacte à gauche » (plus petits intervalles au début). Le résultat s'écrit entre parenthèses rondes sans virgules.
Exemple : do majeur → (047). Inversion {0, 8, 5} → forme normale [5, 8, 0] → transposée [0, 3, 7]. Entre (047) et (037), c'est (037) qui l'emporte. Donc l'accord majeur et l'accord mineur ont la même forme première (037) : ce sont le même ensemble à l'inversion près. Numéro de Forte : 3-11.
Le vecteur d'intervalles
Le vecteur d'intervalles compte combien de fois chaque classe d'intervalle (ic1…ic6) apparaît parmi toutes les paires de notes de l'ensemble. Il s'écrit entre chevrons.
- Accord majeur/mineur (037) : paires 0–3 (ic3), 0–7 (ic5), 3–7 (ic4) → <001110>.
- Gamme majeure / diatonique, 7-35 (013568t) : <254361>. Elle a le maximum de quintes (6) et un seul triton : c'est pour cela qu'elle est si « tonale ».
- Pentatonique, 5-35 (02479) : <032140> : aucun demi-ton et aucun triton, donc aucune tension forte (voir la fiche sur les pentatoniques).
- Gamme par tons, 6-35 (02468t) : <060603> : seulement des secondes majeures, des tierces majeures et des tritons ; aucun demi-ton, aucune quinte juste.
- Octatonique, 8-28 (0134679t) : <448444>.
- Septième diminuée, 4-28 (0369) : <004002>. Accord augmenté, 3-12 (048) : <000300>.
Ensembles remarquables et numéros de Forte
| Forte | Forme première | Exemple |
|---|---|---|
| 3-11 | (037) | accords majeur et mineur |
| 3-10 | (036) | accord diminué |
| 3-12 | (048) | accord augmenté |
| 3-5 | (016) | « tricorde viennois » (Webern) |
| 4-27 | (0258) | septième de dominante et semi-diminuée (ce sont des inversions) |
| 4-26 | (0358) | septième mineure (et sixte majeure : Am7 = C6) |
| 4-20 | (0158) | septième majeure |
| 4-28 | (0369) | septième diminuée |
| 5-35 | (02479) | pentatonique |
| 6-35 | (02468t) | gamme par tons |
| 7-35 | (013568t) | diatonique (tous les modes du majeur) |
| 7-34 | (013468t) | mineur mélodique (tous ses modes) |
| 7-32 | (0134689) | mineur harmonique et majeur harmonique (inversions) |
| 8-28 | (0134679t) | octatonique |
À noter : G7 et Bø7 ont la même forme première (0258) : la semi-diminuée est le renversé de la dominante. Et le mineur harmonique et le majeur harmonique sont des inversions l'un de l'autre (7-32).
Relation Z
Deux ensembles différents (non liés par Tn ou TnI) avec le même vecteur sont dits Z-corrélés. Le cas célèbre est celui des deux tétracordes all-interval 4-Z15 (0146) et 4-Z29 (0137), tous deux de vecteur <111111> : ils contiennent chaque classe d'intervalle une seule fois. Elliott Carter les a utilisés comme matériau de base dans plusieurs œuvres.
Usage pratique
- Classer une « gamme exotique » trouvée en ligne : calcule-en la forme première et tu découvriras souvent qu'elle est un mode d'une gamme connue (par exemple, le mineur hongrois est un mode de la double harmonique, 7-22).
- Choisir des voicings avec une certaine « couleur » : un ensemble avec beaucoup d'ic5 sonne ouvert (quartal), un ensemble avec beaucoup d'ic1 sonne tendu (cluster).
- Lire des textes d'analyse du XXe siècle et de théorie moderne (Tymoczko, A Geometry of Music).
Exercice
- Calcule forme normale, forme première et vecteur de : D F A C (Dm7), B D F A (Bø7), C E G# (C+), C Db F# (tricorde viennois).
- Vérifie que Dm7 et F6 ont la même forme première.
- Prends la gamme énigmatique (C Db E F# G# A# B) et calcules-en le vecteur : combien de quintes justes contient-elle ?
Liens
Théorie des ensembles (1) : pitch class et opérations ; Modes à transpositions limitées de Messiaen ; Gamme par tons ; Gamme diminuée ; Accords de septième : catalogue.