Definition
Die musikalische Mengenlehre (Pitch-Class-Set-Theorie), entwickelt von Milton Babbitt und systematisiert von Allen Forte (The Structure of Atonal Music, 1973), beschreibt Tonhöhen als Zahlen und Akkorde als Mengen. Entstanden für die Analyse atonaler Musik (Schönberg, Berg, Webern), ist sie heute auch nützlich, um Symmetrien, exotische Skalen und Voicings im Jazz und in der Filmmusik zu verstehen.
Pitch und Pitch Class
- Ein Pitch ist eine genaue Tonhöhe (C4).
- Eine Pitch Class (pc) ist die Klasse aller Töne mit demselben Namen, unabhängig von Oktave und enharmonischer Schreibweise: C2, C4, His3 und Deses5 sind alle die pc 0.
| pc | Töne |
|---|---|
| 0 | C, His, Deses |
| 1 | Cis, Des |
| 2 | D |
| 3 | Dis, Es |
| 4 | E, Fes |
| 5 | F, Eis |
| 6 | Fis, Ges |
| 7 | G |
| 8 | Gis, As |
| 9 | A |
| 10 (t oder A) | Ais, B |
| 11 (e oder B) | H, Ces |
Die Arithmetik ist modulo 12: 11 + 3 = 2 (H + kleine Terz = D). Der Einfachheit halber schreibt man t (10) und e (11) oder A und B.
Intervallklassen
Ein Intervall zwischen Pitch Classes wird in Halbtönen gemessen (0–11). Da ein Intervall und seine Umkehrung (z. B. kleine Terz = 3, große Sexte = 9) aus der Sicht der Klassen „dasselbe“ sind, verwendet man die Intervallklassen (ic) von 0 bis 6: ic = min(n, 12 − n).
| ic | Intervalle |
|---|---|
| 1 | kleine Sekunde / große Septime |
| 2 | große Sekunde / kleine Septime |
| 3 | kleine Terz / große Sexte |
| 4 | große Terz / kleine Sexte |
| 5 | reine Quarte / reine Quinte |
| 6 | Tritonus |
Operationen
- Transposition Tn: Man addiert n zu jeder pc. T5 von {0, 4, 7} (C-Dur) = {5, 9, 0} (F-Dur).
- Inversion I (T0I): Jede pc wird zu ihrem Gegenteil: x → −x mod 12. I von {0, 4, 7} = {0, 8, 5} = f-Moll (F As C). TnI: Inversion gefolgt von Transposition: T7I von {0, 4, 7} = {7, 3, 0} = c-Moll.
Daraus folgt ein wichtiges Ergebnis: Der Molldreiklang ist die Inversion des Durdreiklangs (gleiche Intervallstruktur, umgekehrt). Das ist die mathematische Grundlage der negativen Harmonik (Ernst Levy, Steve Coleman, popularisiert von Jacob Collier), in der jeder Akkord an einer Achse zwischen großer und kleiner Terz der Tonika gespiegelt wird.
Symmetrie und Invarianz
Eine Menge ist transpositionssymmetrisch, wenn Tn sie unverändert lässt: Der übermäßige Dreiklang {0, 4, 8} bleibt bei T4 und T8 gleich; der verminderte Septakkord {0, 3, 6, 9} bei T3, T6, T9; die Ganztonleiter bei T2, T4…; die oktatonische Skala bei T3, T6, T9. Das sind Messiaens Modi mit begrenzter Transponierbarkeit.
Musikalische Beispiele
- Webern und die Zweite Wiener Schule verwenden oft die Zelle {0, 1, 6} („Wiener Trichord“): Halbton + Tritonus.
- Schönberg, Drei Klavierstücke op. 11: Der Beginn ist einer der klassischen Prüfsteine der mengentheoretischen Analyse.
- Im Jazz: G7 und Des7 teilen den Tritonus {5, 11}; die Tritonussubstitution ist T6 eines Akkords, der zwei Töne beibehält (Invarianz).
- In der modernen Filmmusik wechseln die „Farben“ von Hans Zimmer oder John Williams oft zwischen Dreiklängen, die durch neo-riemannsche Transformationen (P, L, R) verbunden sind; das sind Inversionen mit zwei gemeinsamen Tönen.
Praktischer Nutzen für Produzenten
- In Zahlen zu denken macht es einfach, ein Voicing in FL Studio zu transponieren und zu invertieren (jede Zahl = ein Halbton in der Piano Roll).
- Symmetrische Skalen lassen sich mit numerischen Regeln konstruieren: Ganztonleiter = Schritte von 2, verminderte Skala = 1-2 oder 2-1, übermäßige Skala = 3-1.
- Die Inversion um die Achse der negativen Harmonik in C (x → 7 − x mod 12, d. h. Spiegelung zwischen Es und E) verwandelt C – Am – F – G in Cm – Eb – Gm – Fm: eine „Spiegel“-Progression mit derselben Stimmbewegung.
Übung
- Schreibe die Dreiklänge von C, Am, F#°, Eb+ in Zahlen auf und berechne T3 und I für jeden.
- Nimm eine Melodie von 8 Noten, wandle sie in pc um, wende T0I an und spiele sie: Das ist die „umgekehrte“ Melodie.
- Prüfe, dass {0, 3, 6, 9}, um 3 transponiert, identisch bleibt, und erkläre, warum der verminderte Septakkord vier Auflösungen hat.
Verweise
Mengenlehre (2): Normalform, Primform und Intervallvektor; Enharmonik; Modi mit begrenzter Transponierbarkeit von Messiaen; Verminderte Skala; Ganztonleiter.