Definizione
La teoria degli insiemi musicali (pitch-class set theory), sviluppata da Milton Babbitt e sistematizzata da Allen Forte (The Structure of Atonal Music, 1973), descrive le altezze come numeri e gli accordi come insiemi. Nata per analizzare la musica atonale (Schoenberg, Berg, Webern), è oggi utile anche per capire simmetrie, scale esotiche e voicing nel jazz e nella musica per film.
Pitch e pitch class
- Una pitch è un'altezza precisa (C4).
- Una pitch class (pc) è la classe di tutte le note con lo stesso nome a prescindere dall'ottava e dalla grafia enarmonica: C2, C4, B#3 e Dbb5 sono tutte la pc 0.
| pc | Note |
|---|---|
| 0 | C, B#, Dbb |
| 1 | C#, Db |
| 2 | D |
| 3 | D#, Eb |
| 4 | E, Fb |
| 5 | F, E# |
| 6 | F#, Gb |
| 7 | G |
| 8 | G#, Ab |
| 9 | A |
| 10 (t o A) | A#, Bb |
| 11 (e o B) | B, Cb |
L'aritmetica è modulo 12: 11 + 3 = 2 (B + terza minore = D). Per comodità si scrivono t (10) ed e (11), o A e B.
Classi di intervallo
Un intervallo tra pitch class si misura in semitoni (0–11). Poiché un intervallo e il suo rivolto (es. 3ª minore = 3, 6ª maggiore = 9) sono "lo stesso" in una prospettiva di classi, si usano le classi di intervallo (ic) da 0 a 6: ic = min(n, 12 − n).
| ic | Intervalli |
|---|---|
| 1 | 2ª minore / 7ª maggiore |
| 2 | 2ª maggiore / 7ª minore |
| 3 | 3ª minore / 6ª maggiore |
| 4 | 3ª maggiore / 6ª minore |
| 5 | 4ª giusta / 5ª giusta |
| 6 | tritono |
Operazioni
- Trasposizione Tn: si aggiunge n a ogni pc. T5 di {0, 4, 7} (C maggiore) = {5, 9, 0} (F maggiore).
- Inversione I (T0I): ogni pc diventa il suo opposto: x → −x mod 12. I di {0, 4, 7} = {0, 8, 5} = Fa minore (F Ab C). TnI: inversione seguita da trasposizione: T7I di {0, 4, 7} = {7, 3, 0} = Do minore.
Consegue un risultato importante: la triade minore è l'inversione della triade maggiore (stessa struttura di intervalli capovolta). È la base matematica dell'armonia negativa (Ernst Levy, Steve Coleman, divulgata da Jacob Collier), dove ogni accordo viene riflesso attorno a un asse tra 3ª maggiore e minore della tonica.
Simmetria e invarianza
Un insieme è simmetrico per trasposizione se Tn lo lascia uguale: la triade aumentata {0, 4, 8} resta uguale con T4 e T8; la settima diminuita {0, 3, 6, 9} con T3, T6, T9; la scala esatonale con T2, T4…; l'ottatonica con T3, T6, T9. Sono i modi a trasposizione limitata di Messiaen.
Esempi musicali
- Webern e la Seconda scuola di Vienna usano spesso la cellula {0, 1, 6} ("tricordo viennese"): semitono + tritono.
- Schoenberg, Drei Klavierstücke op. 11: l'apertura è uno dei banchi di prova classici dell'analisi insiemistica.
- Nel jazz: G7 e Db7 condividono il tritono {5, 11}; la sostituzione di tritono è T6 di un accordo che ne conserva due note (invarianza).
- Nella musica da film moderna i "colori" di Hans Zimmer o di John Williams spesso alternano triadi legate da trasformazioni neo-riemanniane (P, L, R), che sono inversioni con due note comuni.
Uso pratico per un produttore
- Pensare in numeri rende immediato trasporre e invertire un voicing in FL Studio (ogni numero = un semitono nella Piano roll).
- Le scale simmetriche si costruiscono con regole numeriche: esatonale = passi di 2, diminuita = 1-2 o 2-1, aumentata = 3-1.
- L'inversione attorno all'asse dell'armonia negativa in Do (x → 7 − x mod 12, cioè riflessione tra Mib e Mi) trasforma C – Am – F – G in Cm – Eb – Gm – Fm: una progressione "specchio" con lo stesso movimento delle voci.
Esercizio
- Scrivi in numeri le triadi di C, Am, F#°, Eb+ e calcola T3 e I di ciascuna.
- Prendi una melodia di 8 note, convertila in pc, applica T0I e suonala: è la melodia "rovesciata".
- Verifica che {0, 3, 6, 9} trasposto per 3 resti identico e spiega perché la settima diminuita ha quattro risoluzioni.
Collegamenti
Teoria degli insiemi (2): forma normale, forma primaria e vettore intervallare; Enarmonia; Modi a trasposizione limitata di Messiaen; Scala diminuita; Scala esatonale.