Definición
La teoría de conjuntos musicales (pitch-class set theory), desarrollada por Milton Babbitt y sistematizada por Allen Forte (The Structure of Atonal Music, 1973), describe las alturas como números y los acordes como conjuntos. Nacida para analizar la música atonal (Schoenberg, Berg, Webern), hoy es útil también para entender simetrías, escalas exóticas y voicings en el jazz y en la música de cine.
Pitch y pitch class
- Una pitch es una altura precisa (C4).
- Una pitch class (pc) es la clase de todas las notas con el mismo nombre, independientemente de la octava y de la grafía enarmónica: C2, C4, B#3 y Dbb5 son todas la pc 0.
| pc | Notas |
|---|---|
| 0 | C, B#, Dbb |
| 1 | C#, Db |
| 2 | D |
| 3 | D#, Eb |
| 4 | E, Fb |
| 5 | F, E# |
| 6 | F#, Gb |
| 7 | G |
| 8 | G#, Ab |
| 9 | A |
| 10 (t o A) | A#, Bb |
| 11 (e o B) | B, Cb |
La aritmética es módulo 12: 11 + 3 = 2 (B + tercera menor = D). Por comodidad se escriben t (10) y e (11), o A y B.
Clases de intervalo
Un intervalo entre pitch classes se mide en semitonos (0–11). Dado que un intervalo y su inversión (p. ej., 3.ª menor = 3, 6.ª mayor = 9) son «lo mismo» desde la perspectiva de las clases, se usan las clases de intervalo (ic) de 0 a 6: ic = min(n, 12 − n).
| ic | Intervalos |
|---|---|
| 1 | 2.ª menor / 7.ª mayor |
| 2 | 2.ª mayor / 7.ª menor |
| 3 | 3.ª menor / 6.ª mayor |
| 4 | 3.ª mayor / 6.ª menor |
| 5 | 4.ª justa / 5.ª justa |
| 6 | tritono |
Operaciones
- Transposición Tn: se suma n a cada pc. T5 de {0, 4, 7} (C mayor) = {5, 9, 0} (F mayor).
- Inversión I (T0I): cada pc se convierte en su opuesto: x → −x mod 12. I de {0, 4, 7} = {0, 8, 5} = fa menor (F Ab C). TnI: inversión seguida de transposición: T7I de {0, 4, 7} = {7, 3, 0} = do menor.
De ello se deduce un resultado importante: la tríada menor es la inversión de la tríada mayor (misma estructura de intervalos volteada). Es la base matemática de la armonía negativa (Ernst Levy, Steve Coleman, divulgada por Jacob Collier), donde cada acorde se refleja en torno a un eje entre la 3.ª mayor y la menor de la tónica.
Simetría e invariancia
Un conjunto es simétrico por transposición si Tn lo deja igual: la tríada aumentada {0, 4, 8} queda igual con T4 y T8; la séptima disminuida {0, 3, 6, 9} con T3, T6, T9; la escala de tonos enteros con T2, T4…; la octatónica con T3, T6, T9. Son los modos de transposición limitada de Messiaen.
Ejemplos musicales
- Webern y la Segunda Escuela de Viena usan a menudo la célula {0, 1, 6} («tricordio vienés»): semitono + tritono.
- Schoenberg, Drei Klavierstücke op. 11: la apertura es uno de los bancos de pruebas clásicos del análisis de conjuntos.
- En el jazz: G7 y Db7 comparten el tritono {5, 11}; la sustitución de tritono es T6 de un acorde que conserva dos notas (invariancia).
- En la música de cine moderna, los «colores» de Hans Zimmer o de John Williams a menudo alternan tríadas ligadas por transformaciones neorriemannianas (P, L, R), que son inversiones con dos notas comunes.
Uso práctico para un productor
- Pensar en números hace inmediato transponer e invertir un voicing en FL Studio (cada número = un semitono en el Piano roll).
- Las escalas simétricas se construyen con reglas numéricas: tonos enteros = pasos de 2, disminuida = 1-2 o 2-1, aumentada = 3-1.
- La inversión en torno al eje de la armonía negativa en do (x → 7 − x mod 12, es decir, reflexión entre mib y mi) transforma C – Am – F – G en Cm – Eb – Gm – Fm: una progresión «espejo» con el mismo movimiento de las voces.
Ejercicio
- Escribe en números las tríadas de C, Am, F#°, Eb+ y calcula T3 e I de cada una.
- Toma una melodía de 8 notas, conviértela a pc, aplica T0I y tócala: es la melodía «invertida».
- Verifica que {0, 3, 6, 9} transpuesto por 3 queda idéntico y explica por qué la séptima disminuida tiene cuatro resoluciones.
Enlaces
Teoría de conjuntos (2): forma normal, forma primaria y vector interválico; Enarmonía; Modos de transposición limitada de Messiaen; Escala disminuida; Escala de tonos enteros.