Accord pythagoricien et comma pythagoricien

Définition

L'accord pythagoricien construit toutes les notes en enchaînant des quintes pures (rapport 3:2) et en les ramenant dans l'octave (en divisant par 2). C'est le système théorique de la Grèce antique (attribué à l'école pythagoricienne) et de la théorie médiévale : il n'utilise que les nombres premiers 2 et 3.

Construction de la gamme

En partant de fa et en montant par quintes : fa – do – sol – ré – la – mi – si. Ramenées dans l'octave de do :

Elle ne contient que deux types de pas : le ton 9/8 (203,91 cents) et le limma (demi-ton diatonique) 256/243 (90,22 cents). Le demi-ton chromatique, appelé apotomé, est 2187/2048 (113,69 cents) : dans le système pythagoricien, fa# est plus haut que solb. Beaucoup de violonistes, par souci d'expressivité, jouent les sensibles hautes et proches de la tonique, une logique semblable à la logique pythagoricienne.

Le comma pythagoricien

Douze quintes pures ne retombent pas exactement sur sept octaves : (3/2)^12 / 2^7 = 531441/524288 ≈ 1,01364, soit 23,46 cents. Cet écart est le comma pythagoricien. Conséquences :

• La spirale des quintes ne se referme pas : si# ne coïncide pas avec do.
• Si l'on accorde 11 quintes pures, la douzième (généralement sol#–mib) se retrouve trop basse de 23,46 cents (678,49 cents) : c'est la quinte du loup, inutilisable parce qu'elle bat violemment.

Le tempérament égal répartit le comma en rétrécissant chaque quinte de 1/12 de comma (≈1,96 cents).

Avantages et défauts

• Avantages : quintes et quartes parfaites, mélodies aux sensibles tendues et « lumineuses » ; idéal pour la monodie, le chant grégorien et l'organum médiéval construit sur des quintes et des quartes parallèles.
• Défauts : la tierce majeure 81/64 (407,82 cents) est plus large de 21,51 cents que la tierce pure 5/4 : cet écart est le comma syntonique 81/80. Les accords majeurs sonnent durs et battants. Ce n'est pas un hasard si, dans la théorie médiévale, les tierces étaient traitées comme des consonances imparfaites ou des dissonances, et si les cadences s'achevaient sur des quintes à vide ou des unissons.

Du comma syntonique à l'intonation naturelle

Quand la polyphonie a commencé à utiliser des accords pleins (Dunstable, Dufay, puis Zarlino avec les Istitutioni harmoniche de 1558), la tierce pythagoricienne est devenue un problème. D'où les systèmes naturels et les tempéraments mésotoniques, qui sacrifient la pureté des quintes pour avoir des tierces pures (voir la fiche dédiée).

Le pythagoricien aujourd'hui

• Le Lydian Chromatic Concept de George Russell justifie la gamme lydienne par six quintes superposées sur la tonique (do sol ré la mi si fa#) : un raisonnement de type pythagoricien.
• Le violon, l'alto et le violoncelle s'accordent en quintes pures : les cordes à vide produisent des intervalles pythagoriciens, et c'est l'une des raisons pour lesquelles les quatuors adaptent l'intonation des tierces au contexte.
• La théorie turque (système Arel-Ezgi-Uzdilek) repose sur des intervalles pythagoriciens et sur le comma de Holder (1/53 d'octave, ≈22,6 cents).

Exemple musical

Le chant grégorien et l'organum de Pérotin (« Viderunt omnes », fin du XIIe siècle) sont conçus pour des quintes et des quartes pures : écoutés en accord pythagoricien, ils sonnent plus stables et plus résonants qu'au piano.

Exercice

1. Dans un synthé qui accepte les fichiers .scl (Surge XT gratuit, Pigments, Serum 2), chargez un accord pythagoricien sur do et jouez C–E–G : comparez avec le 12-TET et avec l'intonation naturelle.
2. Calculez le mi pythagoricien en partant de do = 261,63 Hz (× 81/64 = 331,1 Hz) et comparez-le avec le mi tempéré (329,63 Hz) et le mi naturel (327,0 Hz).
3. Jouez 12 quintes pures en partant de lab avec un oscillateur et écoutez l'écart final.

Liens

Tempérament égal et cents ; Intonation naturelle et tempéraments historiques ; Lydian Chromatic Concept ; Consonance et dissonance.