Wozu sie dienen
Ein Akkord kann in vielen Transpositionen, Umkehrungen und Lagen auftreten. Normalform und Primform erlauben es, jede Menge auf einen eindeutigen Repräsentanten zu reduzieren und Akkorde und Skalen objektiv zu vergleichen. Die Forte-Nummer (z. B. 3-11) ist das Katalogetikett.
Normalform (Algorithmus)
- Entferne Wiederholungen und Oktaven, schreibe die pc in aufsteigender Reihenfolge.
- Schreibe alle Rotationen (Zyklen) der Menge auf.
- Wähle die Rotation mit dem kleinsten Intervall zwischen erster und letzter Note (die kompakteste).
- Bei Gleichstand wähle die mit dem kleinsten Intervall zwischen erster und vorletzter Note usw. (Kriterium nach Rahn; Forte verwendet in den seltenen Fällen eines weiteren Gleichstands ein leicht abweichendes Kriterium).
Beispiel: C-Dur in der Lage E–G–C = {4, 7, 0}. Rotationen: [0 4 7] Umfang 7; [4 7 0] Umfang 8; [7 0 4] Umfang 9. Normalform: [0, 4, 7].
Primform
- Bestimme die Normalform der Menge und transponiere sie so, dass sie bei 0 beginnt.
- Mache dasselbe mit der Inversion der Menge.
- Wähle die „links kompakteste“ (kleinste Intervalle am Anfang). Das Ergebnis wird in runden Klammern ohne Kommas geschrieben.
Beispiel: C-Dur → (047). Inversion {0, 8, 5} → Normalform [5, 8, 0] → transponiert [0, 3, 7]. Zwischen (047) und (037) gewinnt (037). Also haben Dur- und Molldreiklang dieselbe Primform (037): Sie sind dieselbe Menge bis auf Inversion. Forte-Nummer: 3-11.
Der Intervallvektor
Der Intervallvektor zählt, wie oft jede Intervallklasse (ic1…ic6) unter allen Notenpaaren der Menge vorkommt. Er wird in spitzen Klammern geschrieben.
- Dur-/Molldreiklang (037): Paare 0–3 (ic3), 0–7 (ic5), 3–7 (ic4) → <001110>.
- Dur-/diatonische Skala, 7-35 (013568t): <254361>. Sie hat die meisten Quinten (6) und nur einen Tritonus: deshalb ist sie so „tonal“.
- Pentatonik, 5-35 (02479): <032140>: kein Halbton und kein Tritonus, also keine starke Spannung (siehe das Kapitel über Pentatoniken).
- Ganztonleiter, 6-35 (02468t): <060603>: nur große Sekunden, große Terzen und Tritoni; kein Halbton, keine reine Quinte.
- Oktatonik, 8-28 (0134679t): <448444>.
- Verminderter Septakkord, 4-28 (0369): <004002>. Übermäßiger Dreiklang, 3-12 (048): <000300>.
Bemerkenswerte Mengen und Forte-Nummern
| Forte | Primform | Beispiel |
|---|---|---|
| 3-11 | (037) | Dur- und Molldreiklang |
| 3-10 | (036) | verminderter Dreiklang |
| 3-12 | (048) | übermäßiger Dreiklang |
| 3-5 | (016) | „Wiener Trichord“ (Webern) |
| 4-27 | (0258) | Dominantseptakkord und halbverminderter Septakkord (sie sind Inversionen) |
| 4-26 | (0358) | Mollseptakkord (und Sextakkord mit großer Sexte: Am7 = C6) |
| 4-20 | (0158) | Major-Septakkord |
| 4-28 | (0369) | verminderter Septakkord |
| 5-35 | (02479) | Pentatonik |
| 6-35 | (02468t) | Ganztonleiter |
| 7-35 | (013568t) | diatonisch (alle Modi der Durtonleiter) |
| 7-34 | (013468t) | melodisch Moll (alle seine Modi) |
| 7-32 | (0134689) | harmonisch Moll und harmonisch Dur (Inversionen) |
| 8-28 | (0134679t) | oktatonisch |
Beachte: G7 und Hø7 haben dieselbe Primform (0258): Der halbverminderte Septakkord ist die Umkehrung der Dominante. Und harmonisch Moll und harmonisch Dur sind Inversionen voneinander (7-32).
Z-Relation
Zwei verschiedene Mengen (nicht durch Tn oder TnI verbunden) mit demselben Vektor heißen Z-verwandt. Der berühmte Fall sind die beiden All-Interval-Tetrachorde 4-Z15 (0146) und 4-Z29 (0137), beide mit dem Vektor <111111>: Sie enthalten jede Intervallklasse genau einmal. Elliott Carter hat sie in mehreren Werken als Grundmaterial verwendet.
Praktischer Nutzen
- Eine online gefundene „exotische Skala“ klassifizieren: Berechne ihre Primform, und du wirst oft feststellen, dass sie ein Modus einer bekannten Skala ist (zum Beispiel ist Ungarisch Moll ein Modus der Doppelt-harmonischen Skala, 7-22).
- Voicings mit einer bestimmten „Farbe“ wählen: Eine Menge mit vielen ic5 klingt offen (quartal), eine mit vielen ic1 klingt gespannt (Cluster).
- Analysetexte des 20. Jahrhunderts und der modernen Theorie lesen (Tymoczko, A Geometry of Music).
Übung
- Berechne Normalform, Primform und Vektor von: D F A C (Dm7), H D F A (Hø7), C E Gis (C+), C Des Fis (Wiener Trichord).
- Prüfe, dass Dm7 und F6 dieselbe Primform haben.
- Nimm die Enigmatische Skala (C Db E F# G# A# B) und berechne ihren Vektor: Wie viele reine Quinten enthält sie?
Verweise
Mengenlehre (1): Pitch Class und Operationen; Modi mit begrenzter Transponierbarkeit von Messiaen; Ganztonleiter; Verminderte Skala; Septakkorde: Katalog.